2. PRESENTACIONES ESTADÍSTICAS Y ANÁLISIS

2.1. ORGANIZACIÓN DE DATOS.

La organización de datos es un conjunto de datos numéricos en orden creciente o decreciente y a la diferencia que existen entre el dato mayor y menor se le llama rango, de ese conjunto de datos.

2.2. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS.

Designemos con X la característica (puede ser una variable o un atributo) que deseamos observar en los elementos de una población o de una muestra. Realicemos el siguiente proceso: se observan los distintos valores o modalidades de la característica; si es una variable que admite ordenación se ordena de menor a mayor y como puede haber valores que se repitan se agrupan todos ellos. Si el valor o dato X_i se repite n_i veces a este se le denomina frecuencia absoluta de dicho valor. AI proceso que hemos descrito se le denomina tabulación de datos y cuando se culmina se obtiene un conjunto formado por valores ordenados de menor a mayor que tienen asociados el número de veces que han aparecido (n_i) que llamamos distribución de frecuencias unidimensional de datos o valores no agrupados.

Así pues, pueden haber dos tipos de distribuciones de frecuencias: las que no tienen valores repetidos o de frecuencias unitarias y las que tienen valores repetidos y por tanto, alguna o algunas de sus frecuencias no son unitarias.

Llamamos distribución de frecuencias unidimensional unitaria de la característica X al conjunto de los r datos distintos y ordenados de menor a mayor (X₁, X₂, …, X_i, …, X_r) de forma que ninguno esta repetido.

Este tipo de distribuciones surgen cuando la variable X toma pocos valores y ninguno se repite. Se representa de la siguiente manera:

Ejemplo: Supongamos que la edad de los alumnos de la sección 24 son: 20, 18, 19, 22 y 21, solo se ordenan las variables de menor a mayor.

Llamamos distribución de frecuencias unidimensional de la característica

X al conjunto de los r datos distintos, ordenados de menor a mayor, acompañados de sus respectivas frecuencias absolutas:

X₁, X₂, …, X_i, …, X_r

n₁, n₂, …, n_i, …, n_r

Este tipo de distribuciones se elaboran cuando la característica X toma pocos valores pero se repiten un gran número de veces con lo que las frecuencias ya no son unitarias. Se representa en la siguiente tabla:

Ejemplo: se le pregunta a 10 alumnos de la sección 24 su edad y estos fueron los resultados: 19, 19, 20, 18. 19, 20, 20, 18, 19, 19. Se representa así:

2.2.1. RANGO.

Es el límite dentro del cual están comprendidos todos los valores de la serie de datos, en otras palabras, es el número de diferentes valores que toma la variable en un estudio o investigación dada. Es la diferencia entre el valor máximo de una variable y el valor mínimo que ésta toma en una investigación cualquiera. El rango es el tamaño del intervalo en el cual se ubican todos los valores que pueden tomar los diferentes datos de la serie de valores, desde el menor de ellos hasta el valor mayor estando incluidos ambos extremos. El rango de una distribución de frecuencia se designa con la letra R.

RANGO = DATO MAYOR - DATO MENOR.

Ejemplo: la edad de los estudiantes esta entre 18 y 21 años.

R = 21 – 18

R = 3.

2.2.2. FRECUENCIA.

Es una medida que se utiliza generalmente para indicar el número de repeticiones de cualquier fenómeno o suceso periódico en la unidad de tiempo. Para calcular la frecuencia de un evento, se contabilizan un número de ocurrencias de este teniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividen por el tiempo transcurrido.

Un método alternativo para calcular la frecuencia es medir el tiempo entre dos repeticiones (periodo) y luego calcular la frecuencia (f) recíproca de esta manera:

Donde T es el periodo de la señal.

2.2.3 INTERVALOS DE CLASE

Los intervalos de clase son divisiones o categorías en las cuales se agrupan un conjunto de datos ordenados con características comunes. En otras palabras, son fraccionamientos del rango o recorrido de la serie de valores para reunir los datos que presentan valores comprendidos entre dos limites.

Los intervalos de clase se elaboran cuando el número de valores que puede tomar la característica de interés es muy elevado. Los intervalos pueden construirse con amplitud - diferencia entre el límite superior e inferior - constante o variable.

Para organizar los valores de la serie de datos hay que determinar un número de clases que sea conveniente. En otras palabras, que ese número de intervalos no origine un número pequeño de clases ni muy grande.

Los intervalos de clase pueden ser de tres tipos, según el tamaño que estos presenten en una distribución de frecuencia:

• Clases de igual tamaño.

• Clases desiguales de tamaño

• Clases abiertas.

2.2.4 LÍMITES REALES DE CLASE.

Los límites reales de clase se obtienen sumando al límite superior de un intervalo de clase el límite inferior del intervalo de clase contiguo superior y dividiendo por 2. A veces, los límites reales de clase se utilizan para simbolizar las clases.

2.3 TAMAÑO DE UN INTERVALO DE CLASE.

El tamaño o anchura de un intervalo de clase es la diferencia entre los límites reales de clase que lo forman y se conoce como anchura de clase, tamaño de clase o longitud de clase. Si todos los intervalos de clase de una distribución de frecuencias tienen igual anchura, esta anchura común se representa por c. En tal caso, c es igual a la diferencia entre dos sucesivos límites de clase inferiores o superiores.

Ejemplo: 25 - 22 = 28 – 25 = 3.

2.4 MARCA DE CLASE.

La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene sumando los límites inferior y superior de la clase y dividiendo por 2. La marca de clase se llama también punto medio de la clase.

Para análisis matemáticos posteriores, todas las observaciones pertenecientes a un intervalo de clase dado se suponen coincidentes con la marca de clase.

Ejemplo: la marca de clase en un intervalo de 20-25 es (20 + 24) /2 = 22

2.5. FRECUENCIA RELATIVA.

La frecuencia relativa es aquella que resulta de dividir cada uno de los n_i *(frecuencias absolutas) de las clases de una distribución de frecuencia de clase entre el número total de datos (N) de la serie de valores. Estas frecuencias se designan con las letras f_i, si cada f_i se multiplica por 100 se obtiene la frecuencia relativa porcentual (f_i %).

*La frecuencia absoluta es el número total de valores de las variables que se encuentran presente en una clase determinada, de una distribución de frecuencia de clase.

La frecuencia relativa se representa así:

2.6. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA.

La frecuencia acumulada relativa es aquella que resulta de dividir cada una de las N_i *(frecuencias acumuladas) de las diferentes clases que integran una distribución de frecuencia de clase entre el número total de datos (N) de la serie de valores, estas frecuencias se designan con las letras F_i. Si las F_i se multiplican por 100 se obtienen las frecuencias acumuladas relativas porcentuales y las mismas se designan así: F_i %.

*Las frecuencias acumuladas de una distribución de frecuencias son aquellas que se obtienen de las sumas sucesivas de las ni que integran cada una de las clases de una distribución de frecuencia de clase, esto se logra cuando la acumulación de las frecuencias se realiza tomando en cuenta la primera clase hasta alcanzar la ultima.

La frecuencia acumulada relativa se expresa de la siguiente manera:

2.7. DISTRIBUCIONES EMPIRICAS.

La distribución empírica de una muestra de tamaño n es la lista de las frecuencias de las modalidades que toman los datos.

Es la ley de probabilidad que carga cada uno de los valores de la muestra con la probabilidad 1/n.

La función de distribución empírica asocia a x la frecuencia empírica F(x) de los datos menores o iguales a x.

Los percentiles empíricos se calculan a partir de la función de distribución empírica definida por los valores de la serie con la que se trabaja ordenada desde el valor menor al mayor, y asignando a cada valor ordenado su probabilidad calculada según la expresión:

Prob (C£xi) = i/(N +1)

Donde ”i” representa el número de orden que ocupa el valor “x” en la serie de datos ordenada en orden creciente y “N” el número total de datos. La probabilidad correspondiente al 20, 40, 50, 60 ó 80 por ciento se obtienen por interpolación lineal, considerando las probabilidades asignadas a cada dato ordenado.

2.8. GRAFICAS.

Una gráfica es una representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o Símbolos, para ver la relación que esos datos guardan entre sí. También puede ser un conjunto de puntos, que se plasman en coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno.

En la Estadística Descriptiva las representaciones graficas tienen la ventaja de que el impacto visual nos proporciona de forma instantánea una visión global del reparto de los datos observados, pero nunca deben sustituir al estudio analítico que es el que nos proporciona las conclusiones definitivas del fenómeno objeto de estudio. Los distintos tipos de gráficos son simplemente una forma complementaria, nunca sustitutiva, de describir la realidad que nos interesa.

Las graficas se pueden clasificar en:

• Numéricas: con imágenes visuales que sirven para representar el comportamiento o la distribución de los datos cuantitativos de una población.
• Lineales: en este tipo de gráfico se representan los valores en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí.
• De barras: se usan cuando se pretende resaltar la representación de porcentajes de datos que componen un total.
• Gráficas Circulares: gráficas que nos permiten ver la distribución interna de los datos que representan un hecho, en forma de porcentajes sobre un total.
• Histogramas: Se emplea para ilustrar muestras agrupadas en intervalos.

2.8.1. HISTOGRAMAS.

Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.

Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos.

2.8.2 POLÍGONOS DE FRECUENCIA

Un polígono de frecuencia es un gráfico que se realiza a través de la unión de los puntos más altos de las columnas en un histograma de frecuencia (que utiliza columnas verticales para mostrar las frecuencias).

Los polígonos de frecuencia para datos agrupados, por su parte, se construyen a partir de la marca de clase que coincide con el punto medio de cada columna del histograma. Cuando se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados, se obtiene un histograma de frecuencias acumuladas, que permite diagramar su correspondiente polígono.

2.8.3. FRECUENCIA RELATIVA.

Es la relación o cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de observaciones.

Es la proporción entre la frecuencia de un intérvalo y el número total de datos.

Se define la frecuencia de un evento a como el cociente que resulta de dividir el número de veces que sucedió el evento entre el número total de veces que se repitió el experimento, bajo el supuesto de que en cada repetición de experimento el evento A tiene la misma oportunidad de ocurrir es decir:

EJEMPLO 1

Se lanza un dado 50 veces, el experimento sale el numero 5 ocurre 8 veces, calcular la frecuencia relativa de dicho evento.

Fa = 8/50=0.16

A la Frecuencia Relativa también se le llama probabilidad empírica o a posteriori ya que en resultados confiables solo se obtienen después de realizar el experimento un gran numero de veces.

2.8.4. FRECUENCIA ACUMULADA

Las frecuencias acumuladas de una distribución de frecuencias son aquellas que se obtienen de las sumas sucesivas de las ni que integran cada una de las clases de una distribución de frecuencia de clase, esto se logra cuando la acumulación de las frecuencias se realiza tomando en cuenta la primera clase hasta alcanzar la ultima.

2.8.5. PARETO.

Es una herramienta que se utiliza para priorizar los problemas o las causas que los generan.

Según este concepto, si se tiene un problema con muchas causas, podemos decir que el 20% de las causas resuelven el 80 % del problema y el 80 % de las causas solo resuelven el 20 % del problema.

Se recomienda el uso del diagrama de Pareto:

· Para identificar oportunidades para mejorar.

· Para identificar un producto o servicio para el análisis de mejora de la calidad.

· Cuando existe la necesidad de llamar la atención a los problemas o causas de una forma sistemática.

· Para analizar las diferentes agrupaciones de datos.

· Al buscar las causas principales de los problemas y establecer la prioridad de las soluciones.

· Para evaluar los resultados de los cambios efectuados a un proceso comparando sucesivos diagramas obtenidos en momentos diferentes, (antes y después).

· Cuando los datos puedan clasificarse en categorías.

· Cuando el rango de cada categoría es importante.

Los propósitos generales del diagrama de Pareto:

· Analizar las causas

· Estudiar los resultados

· Planear una mejora continua

La Gráfica de Pareto es una herramienta sencilla pero poderosa al permitir identificar visualmente en una sola revisión las minorías de características vitales a las que es importante prestar atención y de esta manera utilizar todos los recursos necesarios para llevar a cabo una acción de mejora sin malgastar esfuerzos ya que con el análisis descartamos las mayorías triviales.

1. INTRODUCCIÓN.

CAPÍTULO 1. EL MÉTODO ESTADISTICO EN LA INTERPRETACIÓN DE LOS HECHOS ECONÓMICOS.

1.1. LAS RAMAS DE LA ESTADÍSTICA Y SUS MÉTODOS CIENTÍFICOS.

La Estadística es la ciencia que estudia las “regularidades” que se observan en una serie de fenómenos que pueden expresarse a través de la información numérica. Es un conjunto de métodos científicos que nos permiten interpretar la información numérica, elegir muestras representativas para hacer inferencias, contrastar hipótesis, estimar relaciones causa-efecto y hacer predicciones. La agrupación del conjunto de conocimientos que componen a la Estadística da origen a tres ramas claramente diferenciadas:

· La estadística descriptiva.

· El cálculo de probabilidades.

· La inferencia estadística.

La Estadística Descriptiva. Es la que tiene sus raíces mas profundas ya que era utilizada por sociedades humanas primitivas. Su método científico es el deductivo ya que plantea un conjunto de datos ordenados y genéricos y va extrayendo conclusiones particulares de los mismos. Va de lo general a lo particular.

Ejemplo: si se quiere saber cuantos jóvenes de entre 12 y 20 años hay en la cuidad de Morelia, se hace un censo y se determina la cantidad exacta o aproximada del numero de jóvenes entre esa edad que habitan la cuidad.

El Cálculo de Probabilidades también emplea el método deductivo. Esta rama de la estadística esta constituida por las herramientas matemáticas y modelizadoras en las que se apoyará la inferencia estadística para su formulación y desarrollo.

La Inferencia Estadística emplea el método inductivo basándose en el conjunto de instrumental matemático-deductivo que le proporciona el Cálculo de Probabilidades. Procede de las observaciones particulares de una muestra representativa y llega a la inducción de propiedades generales para el conjunto del que se extrae la mencionada muestra.

Ejemplo: si se quiere saber a que cantidad de jóvenes de entre 12 y 20 años de edad de la ciudad de Morelia les gusta andar en bicicleta, se le pregunta a una parte de esa población si le gusta o no, así pues, si al 25% de la muestra le gusta uno induce que al 25% de la población le gusta andar en bicicleta y al 75% no.

Las etapas de toda investigación estadística son las siguientes:

1. Definición de los objetivos que se persiguen con la investigación.

En esta etapa se definen los parámetros poblacionales que se pretenden investigar.

2. Recogida de los datos estadísticos para llegar a conocer los parámetros poblacionales.

Existen fundamentalmente dos formas de obtener los datos estadísticos:

• Por la ejecución de una encuesta censal. La característica de interés se mide en todos y cada uno de los elementos de la población. Cuando el estudio estadístico que se ejecuta es de naturaleza censal no existe ningún problema de inferencia y el método empleado será íntegramente deductivo.

• Por la ejecución de una encuesta muestral. Esta segunda alternativa es la que se utiliza en la investigación estadística ya que tiene las enormes ventajas de tener un costo económico reducido, un corto período de ejecución y la calidad de los datos observados puede controlarse mejor al ser volúmenes mas reducidos. La característica que se esta investigando sólo se mide en un subconjunto de la población, muestra, y los resultados obtenidos se infieren al total poblacional. El método por tanto es inductivo ya que de lo particular de la muestra se generaliza al total de la población.

3. Descripción y estimación de los parámetros poblacionales.

Esta se realizará a través de tablas de frecuencias y gráficos, Se empleará el método deductivo.

Si se ha utilizado la investigación muestral hay que considerar dos niveles de análisis: el de modelización probabilística y el de descripción de los datos obtenidos o análisis. Cuando se obtienen los datos de la muestra seleccionada por un procedimiento probabilístico, ya no tenemos estimadores que siguen una distribución o modelo de probabilidad, sino estimaciones o datos concretos que hay que describir o reducir de forma ordenada de lo general a lo particular.

1.2. LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y EL ESTUDIO DE LOS HECHOS ECONÓMICOS.

• El origen de la palabra Estadística proviene a su vez del latín status. Es la ciencia que contabiliza las cosas del Estado desde los tiempos mas remotos hasta nuestros días: recoge, describe y analiza información de cualquier hecho o fenómeno. Si es del mundo económico estaremos ante una Estadística Descriptiva Económica.

• Es una estadística económica que no contiene incertidumbre con lo que esta ausente la probabilidad como medida de aquella.

• La Estadística Descriptiva o Deductiva la debe de dominar tanto el economista de empresa como el general, ya que le enseña cómo debe hacer un análisis primario y básico de un conjunto de datos que provienen de haber efectuado una investigación censal o muestral de un determinado fenómeno económico.

1.3. EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES COMO HERRAMIENTA MATEMÁTICA DE INFERENCIA ESTADÍSTICA. LA ESTADÍSTICA MODERNA.

Se conoce como Inferencia Estadística aplicada a la economía, cuyo estudio requiere un conocimiento previo del cuerpo fundamental del Cálculo de Probabilidades ya que nos proporcionará los instrumentos matemáticos necesarios para que, siguiendo la lógica inductiva, las conclusiones de una muestra las generalicemos a la población a la que pertenece.

1.4. LA INFERENCIA ESTADÍSTICA COMO MÉTODO DE ESTUDIO DE LOS HECHOS ECONÓMICOS.

Dentro del desarrollo de la Inferencia hay que considerar tres corrientes metodológicas que surgen de las distintas interpretaciones del concepto de probabilidad.

En primer lugar hay que considerar la Inferencia Clásica que arranca con Laplace-Gauss. Esta corriente clásica de la Inferencia se apoya en el concepto frecuencialista de la probabilidad obtenida de la información descriptiva muestral cuando el experimento aleatorio de la investigación se realiza en las mismas condiciones un número elevado de veces.

Una segunda corriente es la denominada Inferencia Bayesiana. Sus bases iniciales las formuló el matemático ingles reverendo Thomas. La esencia del enfoque bayesiano esta en su famoso teorema que combina todo tipo de información a priori sobre los distintos estados de la naturaleza con la información muestral en sentido clásico para obtener o inferir el modelo de distribución a posteriori.

La tercera corriente, de enorme aplicación en el campo económico-empresarial, es lo que se conoce como Teoría de la Decisión. Su formulación se debe al estadístico A. Wald que aprovecha la inferencia bayesiana combinada con la noción de probabilidad subjetiva aportando el concepto de función de pérdida en el que se apoya el decisor para cuantificar sus expectativas y racionalizar el tratamiento de la incertidumbre económica.

A lo largo de las décadas se ha ido implantado paulatinamente el enfoque probabilístico en el estudio de los hechos económicos lo que permite confrontar los modelos teóricos con los datos estadísticos o estudiar el modelo que mejor se ajusta a los datos empíricos disponibles.

CAPÍTULO 2. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS UNIDIMENSIONALES.

2.1. INTRODUCCIÓN.

En este capitulo iniciamos lo que hemos denominado la Estadística Descriptiva o Deductiva que se ocupa de recopilar, organizar y analizar datos numéricos.

2.2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

Población. Se entiende por población, universo o colectivo cualquier conjunto de personas, objetos, animales, plantas, instituciones o entes en general que son portadores de una serie de características que nos interesa estudiar.

Ejemplo: Automóviles comprados en la ciudad de Morelia en la agencia Ford en el año 2008.

Las poblaciones están compuestas de elementos o individuos por lo que deben de estar definidas con absoluta precisión. Se clasifican en finitas o infinitas según que el número de elementos que la componen sea de una clase u otra.

Muestra. Es todo subconjunto representativo de la población de forma que las conclusiones sacadas en aquella se generalizan a esta.

Ejemplo: Cantidad de automóviles rojos comprados el año 2008 en la agencia Ford, en la ciudad de Morelia.

Atributo. Es toda característica poblacional no susceptible de ser medida numéricamente.

Ejemplo: Los colores de los automóviles de la agencia Ford.

Aunque los atributos no son susceptibles de ser medidos numéricamente, sus modalidades pueden relacionarse con lo que se denominan escalas nominales y ordinales. Las observaciones de las distintas modalidades decimos que están en una escala nominal cuando los números que le asignamos sólo se emplean para diferenciar las distintas categorías. La escala nominal es la forma de medición más débil y se utiliza sólo para clasificar las distintas modalidades de un atributo. No permiten ninguna relación de orden ni operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división. Las escalas ordinales se podrán emplear cuando las distintas modalidades admiten una determinada graduación u ordenación. Este tipo de mediciones con escalas ordinales es superior al nominal ya que además de clasificar las distintas modalidades permiten ordenarlas, pero tampoco admite, como en las nominales, las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división.

Variables. Son las características poblacionales susceptibles de tomar valores numéricos a los que se les pueda aplicar lo que se conocen como escalas de intervalos y de razón o proporción. Las escalas de intervalos admiten unidades de medida y un origen (cero) arbitrarios y las de razón además de la unidad de medida tienen asignado un punto de origen no arbitrario ya que es un verdadero cero o cero absoluto. En estas escalas sí se permiten las operaciones aritméticas de la suma, resta, multiplicación y división. Las variables pueden ser unidimensionales, bidimensionales o pluridimensionales. También pueden ser discretas o continuas según tomen un número finito o infinito numerable, o bien infinito no numerable de valores en un determinado intervalo de su campo de variación.

Ejemplo: Precio de la gasolina en el año 2009.

2.3. TAREAS A DESARROLLAR EN LAS GRANDES ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA.

1ª Etapa: Definición de objetivos.

Tareas:

• Identificación de características cualitativas o cuantitativas que se desean estudiar.
• Definición de la población portadora de las características a investigar.
• Identificar el marco o listado de unidades poblacionales especificando sus soportes (magnético, papel, documentos, etc.) y su accesibilidad.
• Decidir si la investigación va a ser censal o muestral determinando tamaño de la muestra y presupuesto necesario.
• Especificar el ámbito del estudio y la forma de recoger los datos: entrevistas personales, por correo, por teléfono o mixtas.

2ª Etapa: Recogida de los datos estadísticos.

Tareas:

• Diseño del cuestionario.
• Diseño muestral de acuerdo con el marco disponible.
• Diseño del material auxiliar de la encuesta.
• Recogida de los datos.
• Tratamiento de los datos.

3ª Etapa: Estimación y descripción de los parámetros poblacionales especificados en los objetivos.

Tareas:

• Análisis descriptivo primario.
• Estimación de errores muestrales y no muestrales.
• Análisis especiales multivariantes.

TIPOS DE MUESTREO.

• Muestreo Aleatorio Simple (m.a.s.). Los elementos de la población objeto de estudio se numeran del 1 hasta N y se seleccionan n de forma aleatoria que constituyen una muestra aleatoria sin reemplazamiento (un mismo número aleatorio solo aparece una vez) representativa de todo el conjunto.

• Muestreo estratificado. Nos permite obtener estimaciones para cada estrato o subpoblación en los que hemos dividido la población objeto de estudio. La estratificación consiste en dividir la población en grupos que sean homogéneos internamente respecto a la característica que estemos estudiando y que existan grandes diferencias entre unos y otros estratos.

• Muestreo por conglomerados. Los conglomerados son agrupaciones de elementos de la población de naturaleza heterogénea dentro de ellos respecto a la característica que estemos estudiando.

• Muestreo sistemático. EI procedimiento consiste en las fases siguientes: se divide el tamaño de la población N por el de la muestra n; empleando una tabla de números aleatorios se elige uno que esté comprendido dentro del cociente dado por el resultado anterior (si N=100 y n=5, N/n=20, se elige de forma aleatoria un número entre 1 y 20) y por ultimo se obtienen los (n -1) elementos muestrales restantes sumando al que se ha elegido de forma aleatoria el resultado del cociente (si en el ejemplo el aleatorio ha sido 12, el segundo seria 12 + 20 = 32, el tercero sería 32 + 20 = 52, el cuarto 52 + 20 = 72 y el quinto elemento muestral sería 72 + 20 = 92).

• Muestreo polietápico o complejo. Es el que se aplica en la práctica cuando se hacen estudios sociales. Para utilizar el muestreo polietápico se debe ejecutar el siguiente diseño muestral complejo: en primer lugar se utiliza el muestreo estratificado, en segundo lugar se realiza la primera etapa de selección de acuerdo al muestreo por conglomerado y puede haber una segunda etapa de selección también de acuerdo al muestreo por conglomerado. Con lo descrito anteriormente se observa que este muestreo es una mezcla de los distintos tipos de muestreo que se estudian con lo que los diseños reales son complejos y su puesta en practica requiere el concurso de verdaderos especialistas en la materia.

• Muestreos no probabilísticos. Todos los tipos de muestreo anteriores son probabilísticos. Cuando en el proceso de selección existan unidades poblacionales que no tengan probabilidad conocida y utilizada en la selección para entrar a formar parte de la muestra, el muestreo no es probabilístico. La desventaja de este tipo de muestreo, es que carecen del rigor científico necesario para estimar los posibles errores muestrales que se comenten al estimar características poblacionales a través de subconjuntos muestrales ni se pueden establecer intervalos de confianza para las estimaciones.